MENGENAL CARA PENGERJAAN MATRIKS METODE GAUSS JORDAN

 METODE NUMERIK

Solusi Metode Persamaan Linear

RUMUSAN MASALAH

Temukan vektor x yang memenuhi sistem persamaan linier Ax = b, yang dalam hal ini,

• A = [a_i] adalah matriks berukuran n X n

• x = [x_i] adalah matriks berukuran n X 1

• b = [b_i] adalah matriks berukuran n X 1
  (Vektor Kolom)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

HARUS SIMULTAN

KEMUNGKINAN SOLUSI SPL

METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

• Metode eliminasi Gauss 
• Metode eliminasi Gauss-Jordan 
• Metode matriks balikan (inverse) 
• Metode dekomposisi LU 
• Metode lelaran Jacobi 
• Metode lelaran Gauss-Seidel
  

METODE ELIMINASI GAUSS 

• Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan-persamaan 
• Mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua persamaan digabungkan.
• Dibutuhkan pemahaman 
  OPERASI MATRIK  Ax = b Ux = y

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS

• Persamaan (E1) disebut Pivot Equation, a11 disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama dengan a21/a11 disebut sebagai Normalisasi
• Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang disebut dengan Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).

• Hindari pembagian dengan nol, sehingga muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.

OPERASI PADA PROSES ELIMINASI

• Pertukaran : Urutan dua persamaan dapat ditukar karena pertukaran tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir. 
• Penskalaan : Persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan nol, karena perkalian tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir.
• Penggantian : Persamaan dapat diganti dengan penjumlahan persamaan itu dengan gandaan persamaan lain.

KEMUNGKINAN SOLUSI SPL DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Selesaikan persamaan simultan berikut ini. 

27 x1 + 6   x2 –      x3    = 85 …..   (1a) 

6   x1 + 15 x2 + 2   x3    = 72 …..   (1b) 

     x1 +      x2 + 54 x3    = 110 ….. (1c)

CONTOH ELIMINASI GAUSS

CONTOH ELIMINASI GAUSS 

Subtitusi Mundur 

x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926 

13,667 x2 + 2,222 x3 = 53,111 => x2 = 3,573 

27 x1 + 6 x2 - x3 = 85 => x1 = 2,425

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

• Merupakan variasi dari eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk menghitung matrik identitas. 
• Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga tidak memerlukan proses substitusi mundur Ax = b → Ix = b’

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

• Penyelesaian SPL dengan metode eliminasi Gauss-Jordan membutuhkan jumlah komputasi yang lebih banyak daripada metode eliminasi Gauss. 
• Metode eliminasi Gauss sudah cukup memuaskan untuk digunakan dalam penyelesaian SPL
• Namun metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan dasar pembentukan matriks balikan (inverse)

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSSJORDAN

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN 

Selesaikan persamaan simultan berikut ini. 

27 x1 + 6   x2 –      x3 = 85 …..   (1a) 

6   x1 + 15 x2 + 2   x3 = 72 …..   (1b) 

     x1 +      x2 + 54 x3 = 110 ….. (1c)

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

THANKS SEMOGA BERMANFAAT